Visualisierung vergrabener Objekte: Ein Sampling-Verfahren für die Maxwell-Gleichungen

Abstract

Wir untersuchen die numerische Lösung des inversen Streuproblems der Rekonstruktion der Form, Position und Anzahl endlich vieler perfekt leitender Objekte durch Nahfeldmessungen zeitharmonischer elektromagnetischer Wellen mit Hilfe von Metalldetektoren. Wir nehmen an, dass sich die Objekte gänzlich im unteren Halbraum eines unbeschränkten zweischichtigen Hintergrundmediums befinden. Wir nehmen weiter an, dass der obere Halbraum mit Luft und der untere Halbraum mit Erde gefüllt ist. Wir betrachten zuerst die physikalischen Grundlagen elektromagnetischer Wellen, aus denen wir zunächst ein vereinfachtes mathematisches Modell ableiten, in welchem wir direkt das elektromagnetische Feld messen. Dieses Modell erweitern wir dann um die Messung des elektromagnetischen Feldes von Sendespulen mit Hilfe von Empfangsspulen. Für das vereinfachte Modell entwickeln wir, unter Verwendung der Theorie des zugehörigen direkten Streuproblems, ein nichtiteratives Verfahren, das auf der Idee der sogenannten Faktorisierungsmethode beruht. Dieses Verfahren übertragen wir dann auf das erweiterte Modell. Wir geben einen Implementierungsvorschlag der Rekonstruktionsmethode und demonstrieren an einer Reihe numerischer Experimente die Anwendbarkeit des Verfahrens. Weiterhin untersuchen wir mehrere Abwandlungen der Methode zur Verbesserung der Rekonstruktionen und zur Verringerung der Rechenzeit.

We investigate the numerical solution of the inverse scattering problem to reconstruct the shape, position and number of a collection of finitely many perfectly conducting scatterers using near field measurements of time-harmonic electromagnetic waves obtained by metal detectors. The scatterers are assumed to be buried within the lower half-space of an unbounded two-layered background medium. We further assume the upper half-space to be filled with air and the lower half-space to be filled with soil. Recalling the physical foundations of electromagnetic waves, we first deduce a simplified mathematical model, which involves measurements of the electromagnetic field itself. Then we extend this model by incorporating measurements of the electromagnetic field by means of emitter and receiver coils. Based on theoretical results for the corresponding direct scattering problem, we derive a non-iterative method for the simplified model which is based on the idea of the so-called factorisation method. Then we apply this scheme to our extended model, propose a numerical implementation of this reconstruction method and demonstrate its viability in a series of numerical experiments. Furthermore, we investigate several modifications of the method for improving the quality of the reconstructions as well as reducing the computation time.