Numerical modelling of fluid-structure interaction with application in hemodynamics

Abstract

The thesis deals with numerical algorithms for fluid-structure interaction problems with application in blood flow modelling. It starts with a short introduction on the mathematical description of incompressible viscous flow with non-Newtonian viscosity and a moving linear viscoelastic structure. The mathematical model consists of the generalized Navier-Stokes equation used for the description of fluid flow and the generalized string model for structure movement. The arbitrary Lagrangian-Eulerian approach is used in order to take into account moving computational domain. A part of the thesis is devoted to the discussion on the non-Newtonian behaviour of shear-thinning fluids, which is in our case blood, and derivation of two non-Newtonian models frequently used in the blood flow modelling. Further we give a brief overview on recent fluid-structure interaction schemes with discussion about the difficulties arising in numerical modelling of blood flow. Our main contribution lies in numerical and experimental study of a new loosely-coupled partitioned scheme called the kinematic splitting fluid-structure interaction algorithm. We present stability analysis for a coupled problem of non-Newtonian shear-dependent fluids in moving domains with viscoelastic boundaries. Here, we assume both, the nonlinearity in convective as well is diffusive term. We analyse the convergence of proposed numerical scheme for a simplified fluid model of the Oseen type. Moreover, we present series of experiments including numerical error analysis, comparison of hemodynamic parameters for the Newtonian and non-Newtonian fluids and comparison of several physiologically relevant computational geometries in terms of wall displacement and wall shear stress. Numerical analysis and extensive experimental study for several standard geometries confirm reliability and accuracy of the proposed kinematic splitting scheme in order to approximate fluid-structure interaction problems.

Die Arbeit befasst sich mit numerischen Algorithmen zur Berechnung des Problems der Wechselwirkung von Fluid und Struktur mit Anwendungen in Modellierung der Blutströmung. Zuerst wird die Strömung der inkompressiblen viskosen Flüssigkeiten mit nicht-Newtonscher Viskosität in beweglichen viskoelastischen Gittern mathematisch beschrieben. Das mathematische Modell besteht aus der verallgemeinerten Navier-Stokes Gleichungen zur Beschreibung der Fluidströmung und des sogenannten generalized string'' Modells, womit man die Bewegung einer elastischen Körper beschreibt. Der Arbitrary Lagrangian-Eulerian'' Ansatz wird verwendet, um die Bewegung des Berechnungsgebietes zu berücksichtigen und folgen. Ein Teil der Arbeit widmet sich der Diskussion über das nicht-Newtonschen Verhalten scherverdünnenden Flüssigkeiten, wobei wir uns auf den Fall des Blutes beschränken. Darüber hinaus präsentieren wir eine Ableitung von zwei nicht-Newtonschen Modelle, die häufig in der Blutströmungmodellierung eingesetzt sind. Wir geben einen Überblick über die aktuellen Fluid-Struktur Interaktion Algorithmen und diskutieren über die in der Modellierung der Blutströmung auftretenden Schwierigkeiten. Unser Hauptbeitrag liegt in der numerischen und experimentellen Studie eines neuen schwach gekoppelten partitionellen Algorithmus, dem sogenannten kinematic splitting'' Fluid-Struktur Interaktion Algorithmus. Wir präsentieren Stabilitätsanalyse unseres gekoppelten Problems mit scherabhängigen Flüssigkeiten in bewegten Gebieten mit viskoelastischen Ränden. Wir gehen davon aus, dass die Nonlinearitäten sowohl in dem konvektiven und auch dem diffusiven Term auftreten. Die Konvergenz des entwickelten Algorithmus wird für ein vereinfachtes Fluidmodell von dem Oseen-Typ vorgestellt. Wir stellen Reihe von Experimenten einschließlich numerischer Fehler-Analyse, Vergleich der hämodynamischen Parameter für die Newtonschen und nicht-Newtonschen Flüssigkeiten und Vergleich mehrerer physiologisch relevanten Berechnungsgebieten in Bezug auf die Strukturverschiebung und Wandschubspannung. Numerische Analyse und umfangreiche experimentelle Studie für mehrere Standard-Geometrien zeigen Zuverlässigkeit und Genauigkeit des vorgeschlagenen kinematic splitting'' Algorithmus geeignet zur numerischen Approximation des Fluid-Struktur Interaktion Problems.