Quantum Einstein gravity - advancements of heat kernel-based renormalization group studies

Abstract

The asymptotic safety scenario allows to define a consistent theory of quantized gravity within the framework of quantum field theory. The central conjecture of this scenario is the existence of a non-Gaussian fixed point of the theory's renormalization group flow, that allows to formulate renormalization conditions that render the theory fully predictive. Investigations of this possibility use an exact functional renormalization group equation as a primary non-perturbative tool. This equation implements Wilsonian renormalization group transformations, and is demonstrated to represent a reformulation of the functional integral approach to quantum field theory.rnAs its main result, this thesis develops an algebraic algorithm which allows to systematically construct the renormalization group flow of gauge theories as well as gravity in arbitrary expansion schemes. In particular, it uses off-diagonal heat kernel techniques to efficiently handle the non-minimal differential operators which appear due to gauge symmetries. The central virtue of the algorithm is that no additional simplifications need to be employed, opening the possibility for more systematic investigations of the emergence of non-perturbative phenomena. As a by-product several novel results on the heat kernel expansion of the Laplace operator acting on general gauge bundles are obtained.rnThe constructed algorithm is used to re-derive the renormalization group flow of gravity in the Einstein-Hilbert truncation, showing the manifest background independence of the results. The well-studied Einstein-Hilbert case is further advanced by taking the effect of a running ghost field renormalization on the gravitational coupling constants into account. A detailed numerical analysis reveals a further stabilization of the found non-Gaussian fixed point.rnFinally, the proposed algorithm is applied to the case of higher derivative gravity including all curvature squared interactions. This establishes an improvement of existing computations, taking the independent running of the Euler topological term into account. Known perturbative results are reproduced in this case from the renormalization group equation, identifying however a unique non-Gaussian fixed point.rn

Das Konzept der Asymptotischen Sicherheit ermöglicht die Konstruktion einer konsistenten Theorie der Quantengravitation in Form einer Quantenfeldtheorie. Die zentrale Annahme ist hierbei die Existenz eines nicht-Gauß'schen Fixpunktes des Renormierungsgruppenflusses, der es erlaubt Renormierungsbedingungen zu formulieren. Zur Untersuchung dieses Szenarios findet eine nicht- störungstheoretische exakte Renormierungsgruppengleichung Anwendung. Diese beschreibt Wilsonsche Renormierungsgruppentransformationen und stellt eine äquivalente Formulierung einer Quantenfeldtheorie im Pfadintegralzugang dar.rnDie vorliegende Arbeit entwickelt einen algebraischen Algorithmus zur systematischen Konstruktion der Renormierungsgruppenflüsse von Eichtheorien und Quantengravitation. Dieser verwendet die nicht-diagonale Wärmekernentwicklung, die eine Auswertung von Operatorspuren über nicht-minimale Differentialoperatoren erlaubt. Der Vorteil dieses Algorithmus ist, dass keine weiteren vereinfachenden Annahmen (z.B. über Hintergrundfelder) gebraucht werden und ermöglicht damit die systematische Analyse von nicht-störungstheoretischen Phänomenen. Im Zuge dieser Entwicklung enthält die vorliegende Arbeit auch neue Ergebnisse im Bezug auf die Wärmekernentwicklung des Laplaceoperators auf einem beliebigen Vektorbündel.rnDer erarbeitete Algorithmus wird verwendet um den Renormierungsgruppenfluss der Quantengravitation in der Einstein-Hilbert Trunkierung abzuleiten. Dabei wird explizit die Hintergrundunabhängigkeit des Ergebnisses demonstriert. Weiterhin werden die Effekte der Wellenfunktionsrenormierung im Geistsektor auf das Laufen der Kopplungskonstanten der Gravitation untersucht. Eine detaillierte Analyse zeigt, dass die zusätzlichen Beiträge zu einer Stabilisierung des nicht-Gauß'schen Fixpunktes beitragen.rnAbschließend wird der Algorithmus auf Gravitation mit allen marginalen Wechselwirkungsoperatoren angewendet. Dieser Ansatz bildet die Grundlage für die weitere Erforschung des Theorienraumes der Quantengravitation, unter Berücksichtigung der topologischen Euler-Invarianten. Diese Rechnung zeigt die Konsistenz des neuen Zugangs mit klassischen störungstheoretischen Ergebnissen, und kann die Zweideutigkeit der bisher gefundenen nicht-Gauß'schen Fixpunkte auflösen.rn