Analytic properties of Feynman integrals for scattering amplitudes

Abstract

We classify Feynman integrals by analyzing the singularity structure of their integrands. For different integral families, we identify all integrals that can be written as sums of dlog forms with constant coefficients. These coefficients are known as the leading singularities of the integrand and we show how to compute them in two complementary ways: a graphical method using one-loop building blocks to construct the solution loop by loop, and an algorithmic approach that we also implemented using Mathematica'. Using the algorithmic approach we compute complete dlog bases for the planar and non-planar massless double box integral families and the two planar three loop four point integral families. We show that these dlog bases can be used as integral bases that satisfy differential equations in the canonical form which are particularly easy to solve.

Wir klassifizieren Feynman-Integrale durch Analyse der Singularitätsstruktur ihrer Integranden. Für verschiedene Integralfamilien identifizieren wir alle Integrale, die als Summe von Dlog-Formen mit konstanten Koeffizienten geschrieben werden können. Diese Koeffizienten werden als Leading Singularities des Integranden bezeichnet und wir zeigen, wie man sie auf zwei komplementäre Arten berechnet: ein grafisches Verfahren, bei dem Einschleifen-Bausteine verwendet werden, um die Lösung Schleife für Schleife zu berechnen und ein algorithmisches Verfahren, das wir auch mit dem Programm Mathematica implementiert haben. Unter Verwendung des algorithmischen Verfahrens berechnen wir komplette Dlog-Basen für die masselosen planaren und nicht-planaren Doppelbox Integralfamilien und die zwei planaren drei-Schleifen Vierpunkt-Integralfamilien. Wir zeigen, dass diese Dlog-Basen als Integral-Basen verwendet werden können, welche Differentialgleichungen in der kanonischen Form erfüllen, die besonders leicht zu lösen sind.