Automatisierte Berechnung von Feynman-Graphen
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Die Berechnung von experimentell überprüfbaren Vorhersagen aus dem Standardmodell mit Hilfe
störungstheoretischer Methoden ist schwierig. Die Herausforderungen liegen in der Berechnung immer
komplizierterer Feynman-Integrale und dem zunehmenden Umfang der Rechnungen für Streuprozesse mit
nvielen Teilchen. Neue mathematische Methoden müssen daher entwickelt und die zunehmende Komplexität
durch eine Automatisierung der Berechnungen gezähmt werden. In Kapitel 2 wird eine kurze Einführung
in diese Thematik gegeben. Die nachfolgenden Kapitel sind dann einzelnen Beiträgen zur Lösung
dieser Probleme gewidmet.
In Kapitel 3 stellen wir ein Projekt vor, das für die Analysen der LHC-Daten
wichtig sein wird. Ziel des Projekts ist die Berechnung von Einschleifen-Korrekturen
zu Prozessen mit vielen Teilchen im Endzustand. Das numerische Verfahren wird dargestellt und
erklärt. Es verwendet Helizitätsspinoren und darauf aufbauend eine neue Tensorreduktionsmethode,
die Probleme mit inversen Gram-Determinanten weitgehend vermeidet. Es wurde ein Computerprogramm
entwickelt, das die Berechnungen automatisiert ausführen kann. Die Implementierung wird beschrieben
und Details über die Optimierung und Verifizierung präsentiert.
Mit analytischen Methoden beschäftigt sich
das vierte Kapitel. Darin wird das \xloopsnosp-Projekt
vorgestellt, das verschiedene Feynman-Integrale mit beliebigen Massen und Impulskonfigurationen
analytisch berechnen kann. Die wesentlichen mathematischen Methoden, die \xloops zur Lösung der
Integrale verwendet, werden erklärt. Zwei Ideen für neue Berechnungsverfahren werden präsentiert,
die sich mit diesen Methoden realisieren lassen. Das ist zum einen die einheitliche Berechnung von
Einschleifen-N-Punkt-Integralen, und zum anderen die automatisierte Reihenentwicklung von Integrallösungen
in höhere Potenzen des dimensionalen Regularisierungsparameters $\epsilon$. Zum letzteren Verfahren
werden erste Ergebnisse vorgestellt.
Die Nützlichkeit der automatisierten Reihenentwicklung aus Kapitel 4 hängt von der
numerischen Auswertbarkeit der Entwicklungskoeffizienten ab. Die Koeffizienten sind im allgemeinen
Multiple Polylogarithmen. In Kapitel 5 wird ein Verfahren für deren numerische
Auswertung vorgestellt. Dieses
neue Verfahren für Multiple Polylogarithmen wurde zusammen mit
bekannten Verfahren für andere Polylogarithmus-Funktionen als Bestandteil der \CC-Bibliothek \ginac
implementiert.