Frobenius polynomials for Calabi-Yau equations
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Sei $\\pi:X\\rightarrow S$ eine \\\"uber $\\Z$ definierte Familie von Calabi-Yau
Variet\aten der Dimension drei. Es existiere ein unter dem Gauss-Manin Zusammenhang invarianter Untermodul $M\\subset H^3_{DR}(X/S)$ von Rang vier, sodass der Picard-Fuchs Operator $P$ auf $M$ ein sogenannter {\\em Calabi-Yau } Operator von Ordnung vier ist. Sei $k$ ein endlicher K\\\"orper der Charaktetristik $p$, und sei $\\pi_0:X_0\\rightarrow S_0$ die Reduktion von $\\pi$ \\uber $k$. F\\ur die gew\\ohnlichen (ordinary) Fasern $X_{t_0}$ der Familie leiten wir eine explizite Formel zur Berechnung des charakteristischen Polynoms des Frobeniusendomorphismus, des {\\em Frobeniuspolynoms}, auf dem korrespondierenden Untermodul $M_{cris}\\subset H^3_{cris}(X_{t_0})$ her. Sei nun $f_0(z)$ die Potenzreihenl\\osung der Differentialgleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null. Da eine reziproke Nullstelle des Frobeniuspolynoms in einem Teichm\\uller-Punkt $t$ durch $f_0(z)/f_0(z^p)|_{z=t}$ gegeben ist, ist ein entscheidender Schritt in der Berechnung des Frobeniuspolynoms
die Konstruktion einer $p-$adischen analytischen Fortsetzung des Quotienten $f_0(z)/f_0(z^p)$ auf den Rand des $p-$adischen Einheitskreises. Kann man die Koeffizienten von $f_0$ mithilfe der konstanten Terme in den Potenzen eines Laurent-Polynoms, dessen Newton-Polyeder den Ursprung als einzigen inneren Gitterpunkt enth\\alt, ausdr\\ucken,so beweisen wir gewisse Kongruenz-Eigenschaften unter den Koeffizienten von $f_0$. Diese sind entscheidend bei der Konstruktion der analytischen Fortsetzung. Enth\\alt die Faser $X_{t_0}$ einen gew\\ohnlichen Doppelpunkt, so erwarten wir im Grenz\\ubergang, dass das Frobeniuspolynom in zwei Faktoren von Grad eins und einen Faktor von Grad zwei zerf\\allt. Der Faktor von Grad zwei ist dabei durch einen Koeffizienten $a_p$ eindeutig bestimmt. Durchl\\auft nun $p$ die Menge aller Primzahlen, so erwarten wir aufgrund des Modularit\\atssatzes, dass es eine Modulform von Gewicht vier gibt, deren Koeffizienten durch die Koeffizienten $a_p$ gegeben sind. Diese
Erwartung hat sich durch unsere umfangreichen Rechnungen best\\atigt. Dar\\uberhinaus leiten wir weitere Formeln zur Bestimmung des Frobeniuspolynoms her, in welchen auch die nicht-holomorphen L\\osungen der Gleichung $Pf=0$ in einer Umgebung der Null eine Rolle spielen.